2020年中考数学34个考点专题10：一元一次不等式（组）及其应用
专题10 一元一次不等式（组）及其应用
1．用不等号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示不相等关系的式子叫做不等式。
2．不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
3．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
4．一元一次不等式：
不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫
做一元一次不等式。
5．一元一次不等式组：
一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
6．不等式的性质：
性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变。
性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
7.一元一次不等式的解法的一般步骤：
（1）去分母; （2）去括号; （3）移项; （4）合并同类项; （5）系数化为1.
8．不等式解集在数轴上的表示方法：含≥或≤，用空心圆圈，含＞或＜用实心圆点。
9．一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
10．求不等式组解集的规律：
不等式组的解集有四种情况:
若a>b，
（1）当时,则不等式的公共解集为x>a;
（2）时,不等式的公共解集为b
（3）时,不等式的公共解集为x
（4）当时,不等式组无解.
【例题1】（2019江苏镇江）解不等式：
【答案】不等式的解集为．
【解析】解一元一次不等式。
按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1来解即可．
化简得
原不等式的解集为．
【例题2】（2019四川省雅安市）不等式组的解集为（ ）
A．6≤x＜8 B．6＜x≤8 C．2≤x＜4 D．2＜x≤8
【答案】B
【解析】分别求出不等式组中的两个不等式的解集 ，再找它们的公共部分，由第1个不等式得x>6，由第2 个不等式得x≤8，它们的公共部分是6＜x≤8 ，故选B．
【例题3】（2019•山东省德州市）不等式组的所有非负整数解的和是（）
A．10 B．7 C．6 D．0
【答案】A
【解析】不等式组的非负整数解。分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非负整数解．
，
解不等式①得：x＞﹣2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为：﹣2.5＜x≤4，
∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4，
∴不等式组的所有非负整数解的和是0+1+2+3+4＝10
【例题4】（2019广西北部湾）解不等式组，并利用数轴确定不等式组的解集.
【答案】见解析。
【解析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分别解两个不等式得到x＜3和x≥-2，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．然后利用数轴表示其解集．
【解题过程】解：
解①得x＜3，
解②得x≥-2，
所以不等式组的解集为-2≤x＜3．
用数轴表示为：
【例题5】（2019•江苏无锡）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【解析】根据15名工人的前期工作量+12名工人的后期工作量＜2160列出不等式并解答．
设原计划n天完成，开工x天后3人外出培训，
则15an＝2160，
得到an＝144．
所以15ax+12（a+2）（n﹣x）＜2160．
整理，得4x+4an+8n﹣8x＜720．
∵an＝144．
∴将其代入化简，得ax+8n﹣8x＜144，即ax+8n﹣8x＜an，
整理，得8（n﹣x）＜a（n﹣x）．
∵n＞x，
∴n﹣x＞0，
∴a＞8．
∴a至少为9．
一、选择题
1.(2019甘肃省陇南市) 不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）
A．x≤3 B．x≤﹣3 C．x≥3 D．x≥﹣3
【答案】A
【解析】先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．
去括号，得2x+9≥3x+6，
移项，合并得﹣x≥﹣3
系数化为1，得x≤3。
2.（2019•河北）语句“x的与x的和不超过5”可以表示为（）
A．+x≤5 B．+x≥5 C．≤5 D．+x＝5
【答案】A
【解析】“x的与x的和不超过5”用不等式表示为x+x≤5．
3．（2019•浙江宁波）不等式＞x的解为（）
A．x＜1 B．x＜﹣1 C．x＞1 D．x＞﹣1
【答案】A
【解析】去分母、移项，合并同类项，系数化成1即可．
＞x，
3﹣x＞2x，
3＞3x，
x＜1
4.（2019广西河池）不等式组的解集是
A． B． C． D．
【答案】．
【解析】，
解①得：，
解②得：．
则不等式组的解集是：．
故选：．
5.(2019黑龙江绥化)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
【答案】B
【解析】解不等式组,用数轴表示不等式组的解集
解①得,x≥1,
解②得,x
∴原不等式组的解集为1≤x
6.（2019湖北仙桃）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）
【答案】C
【解析】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集。
解不等式x﹣1＞0得x＞1，
解不等式5﹣2x≥1得x≤2，
则不等式组的解集为1＜x≤2
7.（2019吉林长春）不等式-x+2≥0的解集为（ ）
A.x≥-2 B.x≤-2 C.x≥2 D.x≤2
【答案】D
【解析】解一元一次不等式．
-x+2≥0，
移项得：-x≥-2，
系数化为1，得x≤2
∴不等式的解集为：x≤2
8.（2019辽宁本溪） 不等式组的解集是
A.x＞3 B.x≤4 C. x＜3 D.3＜x≤4
【答案】 D.
【解析】，
由①得：x＞3，
由②得：x≤4，
则不等式组的解集为3＜x≤4
9.（2019江苏镇江）下列各数轴上表示的的取值范围可以是不等式组的解集的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由得，
A．由数轴知，则，，解得，与数轴不符；
B．由数轴知，则，，解得，与数轴相符合；
C．由数轴知，则，，解得，与数轴不符；
D．由数轴知，则，，解得，与数轴不符。
10．（2019•绵阳）红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完．若所获利润大于750元，则该店进货方案有（）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】C
【解析】设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50﹣x）件，根据“购进甲乙商品不超过4200元的资金、两种商品均售完所获利润大于750元”列出关于x的不等式组，解之求得整数x的值即可得出答案．
设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50﹣x）件，
根据题意，得：，
解得：20≤x＜25，
∵x为整数，
∴x＝20、21、22、23、24，
∴该店进货方案有5种。
11．（2019•常德）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（）
A．10＜x＜12 B．12＜x＜15 C．10＜x＜15 D．11＜x＜14
【答案】B
【解析】根据题意得出不等式组解答即可．
根据题意可得：不等式与不等式组，
可得：12＜x＜15，
∴12＜x＜15
12.（2019•湖南怀化）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（）只．
A．55 B．72 C．83 D．89
【答案】C
【解析】设该村共有x户，则母羊共有（5x+17）只，根据“每户发放母羊7只时有一户可分得母羊但不足3只”列出关于x的不等式组，解之求得整数x的值，再进一步计算可得．
设该村共有x户，则母羊共有（5x+17）只，
由题意知，
解得：＜x＜12，
∵x为整数，
∴x＝11，
则这批种羊共有11+5×11+17＝83（只）
二、填空题
13.（2019黑龙江哈尔滨）不等式组的解集是．
【答案】：x≥3．
【解析】解不等式≤0，得x≥3，
解不等式3x+2≥1，得x≥﹣，
∴不等式组的解集为x≥3，
故答案为：x≥3．
14.（2019山东东营）不等式组的解集为．
【答案】－7≤x＜1
【解析】一元一次不等式组的解法。
解不等式①，得x＜1；解不等式②，得x≥－7，
∴不等式组的解集是－7≤x＜1．
15.（2019•河南）不等式组的解集是 ．
【答案】x≤﹣2．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解不等式≤﹣1，得：x≤﹣2，
解不等式﹣x+7＞4，得：x＜3，
则不等式组的解集为x≤﹣2
16.(2019内蒙古包头市)已知不等式组的解集为x＞-1，则k的取值范围是.
【答案】k≤-2.
【解析】
不等式组
解不等式①得，x＞-1;
解不等式②得，x＞k+1;
∵原不等式组的解集为x＞-1，
∴k+1≤-1
解得，k≤-2.
17.(2019黑龙江大庆)已知x＝4是不等式ax－3a－1
【答案】a≤－1
【解析】∵x＝4是不等式ax－3a－1
因为x＝2不是不等式ax－3a－1
所以2a－3a－1≥0,所以a≤－1,所以a≤－1.
18.（2019•铜仁）如果不等式组的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是 ．
【答案】a≥﹣3．
【解析】解这个不等式组为x＜a﹣4，
则3a+2≥a﹣4，
解这个不等式得a≥﹣3
故答案a≥﹣3．
19.（2019湖南邵阳）不等式组的解集是．
【答案】
【解析】解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
20．（2019•大渡口区）商店购进一批文具盒，进价每个4元，零售价每个6元，为促销决定打折销售，但利润率仍然不低于20%，那么该文具盒实际价格最多可打 折销售．
【答案】8
【解析】由题意可知：利润率为20%时，获得的利润为4×20%＝0.8元；若打x折该商品获得的利润＝该商品的标价×﹣进价，列出不等式不等式与不等式组，解得x的值即可．
设可以打x折出售此商品，由题意得：，
解得：x≥8，
答：该文具盒实际价格最多可打8折。
三、解答题
21.（2019广西省贵港市）解不等式组：，并在数轴上表示该不等式组的解集．
【答案】见解析。
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
22.（2019北京市）解不等式组：
【答案】.
【解析】先求出每个不等式的解集，再取两个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集.取公共部分按照“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”原则即可.
由①得
由②得
①和②的公共部分由“小小取小”得原不等式组解集为.
23.（2019•江苏扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解．
【答案】﹣3≤x＜2，所有负整数解为﹣3、﹣2、﹣1．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解不等式4（x+1）≤7x+13，得：x≥﹣3，
解不等式x﹣4＜，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜2，
所以不等式组的所有负整数解为﹣3、﹣2、﹣1．
24.（2019贵州省安顺市）先化简（1+）÷，再从不等式组的整数解中选一个合适的x的值代入求值．
【答案】见解析。
【解析】首先进行分式的加减运算，进而利用分式的混合运算法则进而化简，再解不等式组，得出x的值，把已知数据代入即可．
原式＝×＝
解不等式组 得﹣2＜x＜4，
∴其整数解为﹣1，0，1，2，3，
∵要使原分式有意义，
∴x可取0，2．∴当x＝0 时，原式＝﹣3，
（或当x＝2 时，原式＝﹣）．
25．（2019•新疆）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
【答案】见解析。
【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x＞1，
∴不等式组的解集为1＜x＜2，
在数轴上表示不等式组的解集为：
．
26.（2019▪黑龙江哈尔滨）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；
（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；
（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？
【答案】见解析。
【解析】（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，
根据题意得：，
∴，
∴每副围棋16元，每副中国象棋10元；
（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40﹣z）副，
根据题意得：16z+10（40﹣z）≤550，∴z≤25，
∴最多可以购买25副围棋。
27.（2019四川巴中）在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．
①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？
②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？
【答案】见解析。
【解析】①设乙种物品单价为x元，则甲种物品单价为（x+10）元，由题意得：
＝
解得x＝90
经检验，x＝90符合题意
∴甲种物品的单价为100元，乙种物品的单价为90元．
②设购买甲种物品y件，则乙种物品购进（55﹣y）件
由题意得：5000≤100y+90（55﹣y）≤5050
解得5≤y≤10 ,∴共有6种选购方案．
28.（2019▪湖北黄石）若点P的坐标为（，2x﹣9），其中x满足不等式组，求点P所在的象限．
【答案】点P在的第四象限．
【解析】先求出不等式组的解集，进而求得P点的坐标，即可求得点P所在的象限．
，
解①得：x≥4，
解②得：x≤4，
则不等式组的解是：x＝4，
∵＝1，2x﹣9＝﹣1，
∴点P的坐标为（1，﹣1），∴点P在的第四象限．
29.（2019•山东省滨州市 ）有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人．
（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？
（2）某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
【答案】见解析。
【解析】（1）设辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为x人，y人，
，
解得：，
答：1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为45人和30人；
（2）设租用甲种客车x辆，依题意有：，
解得：6＞x≥4，
因为x取整数，所以x＝4或5，
当x＝4时，租车费用最低，为4×400+2×280＝2160．
30．（2019•遵义）某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量45人，B型客车每辆载客量30人．若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A型客车和4辆B型客车共需费用10300元．
（1）求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元；
（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？
【答案】见解析。
【解析】（1）设租用A，B两型客车，每辆费用分别是x元、y元，
，
解得，，
答：租用A，B两型客车，每辆费用分别是1700元、1300元；
（2）设租用A型客车a辆，租用B型客车b辆，
，
解得，，，，
∴共有三种租车方案，
方案一：租用A型客车2辆，B型客车5辆，费用为9900元，
方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆，费用为9400元，
方案三：租用A型客车5辆，B型客车1辆，费用为9800元，
由上可得，方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆最省钱．
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