朴素集合论教程Ⅰ：什么是集合？
写在前面
本文主要介绍集合的定义以及对集合的操作，为了回答两个问题：什么是集合？我们能对集合做什么？
本文的大部分内容参考自Set : An Open 的第二章。作者本人并不是数学专业或逻辑学专业的学生，也没有接受过系统的数理逻辑训练，若是发现错误欢迎指正。
什么是集合？
集合(set)是对象的收集，并且其本身被看作是一个单一的对象。对于某一集合中的对象我们一般称其为这个集合的元素()或者成员()。如果 x 是集合 a 的元素，我们将其表示为 x\in a ，读作 x 属于 a ；如果不是，表示为 x \notin a，读作 x 不属于 a 。特别地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，并把它表示为 \phi 。
可以把集合看作是一个装着各种各样东西的袋子，空集就是一个什么都没装的袋子。
对于集合，我们只关心其中的元素是什么，其他的（如元素的顺序，元素出现的次数）都无关紧要。我们将这个想法表述成下面的定义：
扩展性()：如果A和B是集合，那么A=B当且仅当A中的每个元素也是B中的一个元素，B中的每个元素也是A中的一个元素
有了扩展性后，我们可以通过列举集合中的元素来表示集合： \{0,1,2\} 描述了前三个自然数的集合。并且 \{0,1,2\}=\{2,1,0\}=\{0,0,1,2,2\}
如果没有扩展性，我们完全可以争论说{0, 1, 2}和{0, 2, 1}表示了两个不同的集合，即 \{0,1,2\}\neq\{0,2,1\} ，因为它们元素的顺序不同。
但有些时候我们并不能或不想列举出集合中所有的元素，这时我们可以通过描述集合中元素的特性来表示这个集合。对此，我们使用一种统一的符号： \{x:\(x)\} ， \(x) 就是元素的特性。例如： \{x:x是前三个自然数\} ，它与之前举例的集合( \{1,2,3\} )是相等的。
这种描述集合的方式在我看来是导致罗素悖论的原因之一我们能对集合做什么？子集和超集
有了集合之后，我们很自然地想要比较两个集合。比如说一个集合A里的每一个元素都属于另一个集合B，而B中的某些元素不属于A，是不是从某种意义上来说A就比B“小”呢？对此，我们给出子集的定义：
子集()：如果集合A中的每一个元素也是集合B中的元素，那么我们称A是B的子集，记为 A\ B ，如果A不是B的子集集合的性质有哪三个，记为 A\ B 。如果 A\ B 但是 A\neq B ，那么称A是B的真子集，记为 A\ B 。
结合扩展性，我们可以得出： A=B 当且仅当 A\ B 且 B\ A 。
此时同样是引入一个新记号的好机会。观察上面的论述，我们发现集合A中的每个元素……和集合A中的某些元素……这样的模式经常被使用（将来我们也会大量使用这样的模式）。为了方便，不妨分别给这两个模式特别的缩写：
作为例子，我们用这种缩写重写上面的两个定义：
紧接着我们给出超集的定义：
超集(Power Set): 包含集合A所有子集的集合是集合A的超集，记为 P(A) 即： P(A)=\{B:B\ A\}
例如： P(\{a,b,c\}) = \{\phi,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}
需要注意的是：超集的任意元素都是集合，空集是任意集合的子集，集合A是A本身的子集。下面给出空集是任意集合子集的证明：
对于任意集合A集合的性质有哪三个，我们需要说明 \ x (x\in \phi \ x\in A) 。但是对于空集来说 \ x (x\notin \phi) ，也就是说我们要说明的命题的前提是假的。对于一个推断(imply: A\ B )，如果它的前提是假的，这个推断就是空洞地正确( true)。所以 \ x (x\in \phi \ x \in A) 是真的，即空集是任意集合的子集。
想知道什么是 true可以了解一下 A\ B 的真值表
如果空洞的正确并不能让你满意，我们可以尝试反证：
假设存在一个集合A，使得空集不是A的子集，也就是说 \ x ( x\in \phi \wedge x \notin A) 这与 \ x (x\notin \phi) 矛盾。也就是说不存在这样的集合A，即空集是任意集合的子集。
交集(Union)、并集()和差集()
这三个操作是经常使用且有用的操作，以下分别是它们的定义和例子：
交集(Union)：两个集合A和B的交集，记做 A\cup B ，是包含所有属于A或属于B或既属于A也属于B的元素的集合。即 A\cup B = \{x:x\in A \vee x\in B \}
例如： \{a,b,c\}\cup \{a, 0, 1\} = \{a,b,c,0,1\}
并集()：两个集合A和B的并集，记做 A\cap B ，是包含所有既属于A也属于B的元素的集合。即 A\cap B = \{x:x\in A \wedge x\in B\}
例如： \{a,b,c\}\cap \{a,0,1\}= \{a\} ， \{a,b,c\}\cap\{0,1,2\}=\phi
差集()：两个集合A和B的差集，记做 A-B ，是包含所有只属于A而不属于B的元素的集合。即 A-B=\{x:x\in A \wedge x\notin B\}
例如： \{a,b,c\}-\{a,0,1\}=\{b,c\} ， A-\phi = A
一些常用的集合
